प्रकरण ९ – घनमूळ
घनमूळ काढण्याची रीत
श्लोक २८
आद्यं घनस्थानमथाघने द्वे । पुनस्तथान्त्याद्‌घनतो विशोध्य ॥
घनं पृथवस्थं पदमस्य कृत्या । त्रिघ्न्या तदाद्यं विभजेत्‌ फलं तु ॥ २८ ॥
श्लोक २९
पंक्त्यां न्यसेत्तत्कृतिम अन्त्यनिघ्नी । त्रिघ्नीं त्यजेत्तत्प्रथमात्फलस्य ॥
धनं तदाद्यात्‌ घनमूलमेवं । पंक्तिं भवेदेवमतः पुनश्च ॥ २९ ॥
ज्या संख्येचे घनमूळ पाहिजे असेल तिच्या आद्यांकावर म्हणजे उजवीकडील अंकावर एक उभी रेषा काढावी. या स्थानास घनस्थान म्हणतात्. त्याच्या डाव्या बाजूची दोन स्थाने ( दशं व शतं) ही अघनस्थाने होत. तेथील अंकावर दोन आडव्या खुणा कराव्या. त्यापुढील घनस्थानावर उभी रेघ व नंतर दोन आडव्या रेषा याप्रमाणे अन्त्य म्हणजे डावे बाजूच्या अंकापर्यंत खुणा करून संख्येचे विभाग पाडावे.
यानंतर डाव्या बाजूच्या प्रथम विभागातून जो घन वजा दिल्यावर जी बाकी राहाते तीवर पुढल्या विभागातला एक आकडा घ्यावा व पूर्वोक्त तिप्पटीने त्यास भाग जातो का ते पहावे. ( नक्की कितीचा भाग जातो ते पहावे) हा अंक पहिल्या घनमूळावर मांडावा. नंतर पूर्वोक्त तिप्पट व हा अंक यांचा गुणाकार दुसर्‍या विभाज्यातून वजा करावा.
उरलेल्या बाकीवर दुसर्‍या विभागामधले अंक घेऊन नवीन भाज्य तयार करावा. नंतर पंक्तीतल्या आद्यांकाच्या तिप्पटीने दुसर्‍या अंकाच्या वर्गास गुणून हा गुणाकार या भाज्यातून वजा करावा व त्यावर दुसर्‍या विभागाचा शेष अंक घेऊन भाज्य तयार करावा व पंक्तीतल्या ( घनमूळ) दुसर्‍या अंकाचा घन त्यातून वजा करावा.
यानंतर हीच रीत पुनःपुन्हा वापरावी म्हणजे संख्येचे घनमूळ येते.
नवीन अंकगणितातही हीच रीत वापरली आहे. फरक एवढाच की नवीन गणितात विभागाचे तीन आकडे एकदम घेतात. भास्कराचार्य ते एक, एक असे घेतात. त्यामुळे काम सुकर होते.
खाली १९६८३ या संख्येचे घनमूळ कसे काढायचे ते दाखविले आहे.
- । - - ।
१ ९ ६ ८ ३
वरील संख्येत पहिला विभाग १९ व दुसरा ६८३ आहे.
आता पहिल्या विभागातून म्हणजे १९ मधून सर्वात मोठा घन ८ ( २ चा घन) वजा करा. ( २ हा पंक्तीतील पहिला आकडा झाला.) बाकी १९-८=११ येते. यावर दुसर्‍या विभागातील पहिला अंक लिहिला की ११६ ही संख्या ( भाज्य) येते.
आता २ च्या वर्गाची तिप्पट म्हणजे ४ ची तिप्पट १२ हा भाजक घेऊन ११६ ला भाग कितीचा जातो ते पाहिले. ८, व ९ ने ११६ ला भाग् जातात मात्र हे भाग लावले तर पुढे वजाबाकी होणार नाही म्हणून ७ चा भाग धरून १२ x ७ = ८४ हे ११६ मधून वजा केले ( ७ हा पंक्तीतील दुसरा आकडा झाला.) बाकी ३२ वर ८ घेऊन ३२८ हा पुढील भाज्य तयार झाला.
आता ३ x २ x ७ चा वर्ग = २९४ हे ३२८ मधून वजा केले. उरलेल्या ३४ वर पुढील ३ घेऊन ३४३ हा भाज्य आला.
त्यातून ७ चा घन ३४३ वजा केला बाकी शून्य झाली म्हनजे घनमूळ २७ आले.
खाली १९५३१२५ या संख्येचे घनमूळ कसे काढायचे ते दाखविले आहे.
। - - । - - ।
१ ९ ५ ३ १ २ ५
वरील संख्येत पहिला विभाग १ व दुसरा ९५३ आहे. आता पहिल्या विभागातून म्हणजे १ मधून सर्वात मोठा घन १ ( १ चा घन) वजा करा. ( १ हा पंक्तीतील पहिला आकडा झाला.)
बाकी १-१=० येते. यावर दुसर्‍या विभागातील पहिला अंक लिहिला की ९ ही संख्या ( भाज्य) येते. आता १ च्या वर्गाची तिप्पट म्हणजे १ ची तिप्पट ३ हा भाजक घेऊन ९ ला भाग कितीचा जातो ते पाहिले. २ चा भाग धरून ३ x २= ६ हे ९ मधून वजा केले ( २ हा पंक्तीतील दुसरा आकडा झाला.)
बाकी ३ वर ५ घेऊन ३५ हा पुढील भाज्य तयार झाला. आता ३ x १ x २ चा वर्ग = १२ हे ३५ मधून वजा केले. उरलेल्या २३ वर पुढील ३ घेऊन २३३ हा भाज्य आला. त्यातून २ चा घन ८ वजा केला बाकी २२५ झाली.
त्यावर् पुढील अंक १ घेऊन २२५१ ही संख्या आली. आता १२च्या वर्गाची तिप्पट ( २९२) हा भाजक झाला या भाजकाने २२५१ ला कितीने भाग जातो ते पाहिले. ५ हा भाग धरून २९२x५=२१६० ही संख्या २२५१ मधून वजा केली ( ५ हा पंक्तीतील तिसरा आकडा झाला.)
उरलेल्या ९१ वर पुढचा अंका घेऊन ९१२ ही संख्या आली. आता ३ x१२ x५चा वर्ग = ३x१२x२५=९०० ही संख्या ९१२ मधून वजा केली. उअर्लेल्या १२ वर् पुढील अंक ५ घेतल्यावर् १२५ ही संख्या आली त्यातून ५ चा घन १२५ वजा केल्यावर् बाकी ० आली म्हणजे घनमूळ १२५ हे आले.