निरेकमंकैक्यमिदं निरेकस्थानांतमेकापचितं विभक्तम्‌ ।
रूपादिभिस्तन्निहतेः समा स्युः ।
संख्याविभेदा नियतेऽङ्कयोगे ॥२५६॥

नवान्वितस्थानकसंख्यकायाः ।
ऊनेऽङ्कयोगे कथिते तु वेद्यम्‌ ॥
संक्षिप्तमुक्तं पृथुताभयेन ।
नान्तोस्ति यस्माद्‌गणितार्णवस्य ॥२५७॥



English Rule - If the sum of digits be determinate, the arithmetical series of numbers from one less than the sum of the digits, decreasing by unity, and continued to one less than the places, being divided by one and so forth, and the quotients being multiplied together, the product will be equal to the variations of number. This rule must be understood to hold good provided the sum of the digits be less than the number of places added to nine.

मराठी अर्थ -  संख्येतील अंकांच्या बेरजेतून १ वजा करून व तसेच एक एक वजा करीत स्थानांच्या  संख्येपेक्षा १ कमीपर्यन्त संख्या मांडल्या आणी प्रत्येक संख्येला १ तसेच चढत्या क्रमाने येणार्या अंकांनी भागून त्यांचा गुणाकार केला तर तो त्या संख्येच्या संख्याभेदाएवढा असतो.  जर संख्येतील अंकांची बेरीज संख्येतील स्थाने +९ पेक्षा कमी असेल तरच हा नियम लागू होतो हे लक्षात घेतले पाहिजे.

उपपत्ति: -

 यदि संख्यायां स्थानद्वयं तथाङ्कयोग:=२ तदा शून्यरहिता संख्यैकैवैकादश  भवितुमर्हति तेन संख्याभेद: =१= (अङ्कयोग-१) । एवमेव तत्रैव यद्यङ्कयोग: =३ तदा शून्यवर्जिते संख्ये १२, २१ अत: संख्याभेदौ =२=(अङ्कयोग-१) । यदि च तत्रैवाङ्कयोग:=४, तदा संक्या: १३,२२,३१ ।

अत: संख्याभेदा:=३=(अङ्कयोग-१)। एवमग्रेऽपि संख्यायाम स्थानद्वये रूपोनयोगतुल्या: संख्याभेदा भवन्ति । यदि संख्यायां स्थानत्रयं तथाङ्कयोग: =३ तदा शून्यवर्जितसंख्या = १११ । अत: संख्याभेद: =१=द्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितम् । तत्रैव यद्यङ्कयो्:=४ तदा संख्या: = ११२,१२१,२११ । अत: संख्याभेदा:=३=यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितम् । तत्रैव यद्यङ्कयोग:=५, तदा संख्या:=११३,१२२,१३१,२१२,२२१,३११ । अत: संख्याभेदा:=द्व्यूनाङ्क सङ्कलिततुल्या: । एवमग्रेऽपि संख्यायां स्थानत्रये द्व्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलिततुल्या भेदा भवन्त्यतो द्व्यूनाङ्कयोगपदे सैकपदघ्नपदार्धमित्यादिना सङ्कलितस्वरूपम्
= ((अङ्कयोग -१)/१ )((अङ्कयोग -२)/२)=संख्या भेद ।

यदि संख्यायां स्थानचतुष्ट्यं तथाङ्कयोग: =४, तदा संख्या=११११ । अत: संख्याभेद: =१ । यदि तत्राङ्क योग:=५ तदा संख्या: १११२,११२१,१२११,२१११ । अत: संख्याभेदा:=४ ।  यदि त्रैव अङ्कयोग: =६ तदा संख्या: = १११३,११२२, ११३१, १२१२, १२२१,१३११, २११२,२१२१,२२११,३१११ । अत: संख्याभेदा:=१० । एवमग्रेऽपि स्थानचतुष्ट्ये त्र्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितैक्यसमा भेदा दृश्यन्तेऽतस्त्र्यूनाङ्कयोगपदे सैकपदन्नपदार्धमित्यादिना सङ्कलितस्य स्वरूपम् = (अङ्कयोग -२)x(अङ्कयोग -३)/२ । तत: साद्वियुतेन पदेनेत्यादिना सङ्कलितैक्यस्य रूपम्

= (अङ्कयोग-१)x(अङ्कयोग -२)x(अङ्कयोग -३)/२x३ = संख्याभेदा:
= ((अङ्कयोग-१)/१))x(अङ्कयोग -२)/२)x((अङ्कयोग -३)/३)
एवमग्रेऽप्यत उपपन्नं 'निरेकमङ्कैक्यमिदमित्यादि नियतेऽङ्कयोगे' इत्यन्तम् । अत्रैवानीतभेदेषु नवाधिका कापि संख्या माभूदित्येतदर्थं 'नवान्वितस्थानकसंख्यकाया ऊनेऽङ्कयोगे कथितमिति भास्करोक्तं युक्तियुक्तम् ।

मराठी अर्थ -
सिद्धता =
जर संख्येत दोन अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज २ असेल तर शून्यविरहित अशी ११ ही संख्याच असू शकतेव तिचा संख्याभेद १ =(अंकांची बेरीज-१)असतो.तसेच शून्यविरहीत २ अंकी संख्येची बेरीज ३ असेल तर संख्या १२, १२१, २११ अशा असू शकतात.तयंचा संख्याभेद =३=(अंकांची बेरीज-१) याचप्रमाणे दोन अंकी संख्येतील अंकांची बेरीज जेवढी असेल तेवढे संख्याभेद असतात. जर तीन अंकी शून्यविरहित संख्या असेल व अंकांची बेरीज ३ असेल तर संख्या =१११ व संख्याभेद=१= अंकांच्या बेरजेपेक्षा १ कमी। तसेच जर अंकांची बेरीज ४ असेल तर संख्या=११२,१२१,२११ म्हणके संख्याभेद=३=अंकांच्या बेरजेपेक्षा १ कमी.त्याचप्रमाणे अंकांची बेरीज ५ असेल तर संख्या= ११३,१२२,१३१,२१२, २२१,३११=६ = ((५-१)/१)x((५-२)/२)=(४/१)x(३/२)= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२) याचप्रमाणे अंकांची बेरीज कितीही असली तरी संख्याभेद= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x((अंकांची बेरीज-२)/२).

जर संख्या ४ अंकी असेल तर व अंकांची बेरीज ४ असेल तर संख्या=११११ व संख्याभेद=१. जर अंकांची बेरीज ५ असेल संख्या= १११२, ११२१,१२११,२१११. संख्याभेद=४ तसेच जर अंकांची बेरीज ६ असेल तर संख्या १११३,११२२,११३१,१२१२,१२२१,१३११,२११२,२१२१,२२११,३१११. संख्याभेद=१० =((६-१)/१)x(६-२)/२)x(६-३)/३)= ५x२x१=((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२)x(अंकांची बेरीज-३)/३)
याचप्रमाणे अंकांची बेरीज कितीही असली तरी संख्याभेद= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२)x(अंकांची बेरीज-३)/३)

पंचस्थानस्थितैरेकैर्यद्यद्योगस्त्रयोदह ।
कति-भेदा भवेत्संख्या यदिवेत्सि निगद्यताम्‌ ॥२५८॥

मराठी अर्थ -  जर संख्येत पाच अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज १३ असेल तर  त्या संख्येचे संख्याभेद किती ?

उपपत्ति: -
 १३ निरेम् १२ । एतन्निरेकस्थानान्तमेकापचितमेकादिभिश्र्च भक्तं जातम् १२/१, ११/२, १०/३। ९/४ । एषांघातसमाजाता: संख्याभेदा: ।।४९५।।


मराठी अर्थ - 
सिद्धता =
जर संख्येत पाच अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज १३ असेल तर (अंकांची बेरीज-१)=१३-१=१२, १२ तून एकएक वजा करून त्या संख्यांना १,२,३ इत्यादीमनी भागले की १२/१, ११/२, १०/३, ९/४ असे अपूर्णांक मिळतात. यांचा गुणाकार केला की संख्याभेद =(१२/१)x (११/२)x (१०/३)x(९/४)=११x५x९= ४९५ येतो.

 

Hits: 610
X

Right Click

No right click